卷积及其应用通俗解释

对卷积的困惑

卷积这个概念,很早以前就学过,但是一直没有搞懂。教科书上通常会给出定义,给出很多性质,也会用实例和图形进行解释,但究竟为什么要这么设计,这么计算,背后的意义是什么,往往语焉不详。作为一个学物理出身的人,一个公式倘若倘若给不出结合实际的直观的通俗的解释(也就是背后的“物理”意义),就觉得少了点什么,觉得不是真的懂了。

教科书上一般定义函数 f, g 的卷积 f * g(n) 如下:

连续形式:

并且也解释了,先对g函数进行翻转,相当于在数轴上把g函数从右边褶到左边去,也就是卷积的“卷”的由来。

然后再把g函数平移到n,在这个位置对两个函数的对应点相乘,然后相加,这个过程是卷积的“积”的过程。

这个只是从计算的方式上对公式进行了解释,从数学上讲无可挑剔,但进一步追问,为什么要先翻转再平移,这么设计有何用意?还是有点费解。

在知乎,已经很多的热心网友对卷积举了很多形象的例子进行了解释,如卷地毯、丢骰子、打耳光、存钱等等。读完觉得非常生动有趣,但过细想想,还是感觉有些地方还是没解释清楚,甚至可能还有瑕疵,或者还可以改进(这些后面我会做一些分析)。

带着问题想了两个晚上,终于觉得有些问题想通了,所以就写出来跟网友分享,共同学习提高。不对的地方欢迎评论拍砖。。。

明确一下,这篇文章主要想解释两个问题:

1. 卷积这个名词是怎么解释?“卷”是什么意思?“积”又是什么意思?

2. 卷积背后的意义是什么,该如何解释?

考虑的应用场景

为了更好地理解这些问题,我们先给出两个典型的应用场景:

1. 信号分析

一个输入信号f(t),经过一个线性系统(其特征可以用单位冲击响应函数g(t)描述)以后,输出信号应该是什么?实际上通过卷积运算就可以得到输出信号。

2. 图像处理

输入一幅图像f(x,y),经过特定设计的卷积核g(x,y)进行卷积处理以后,输出图像将会得到模糊,边缘强化等各种效果。

对卷积的理解

对卷积这个名词的理解:所谓两个函数的卷积,本质上就是先将一个函数翻转,然后进行滑动叠加。

在连续情况下,叠加指的是对两个函数的乘积求积分,在离散情况下就是加权求和,为简单起见就统一称为叠加。

整体看来是这么个过程:

翻转——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加——>滑动——>叠加…..

多次滑动得到的一系列叠加值,构成了卷积函数。

卷积的“卷”,指的的函数的翻转,从 g(t) 变成 g(-t) 的这个过程;同时,“卷”还有滑动的意味在里面(吸取了网友李文清的建议)。如果把卷积翻译为“褶积”,那么这个“褶”字就只有翻转的含义了。

卷积的“积”,指的是积分/加权求和。

有些文章只强调滑动叠加求和,而没有说函数的翻转,我觉得是不全面的;有的文章对“卷”的理解其实是“积”,我觉得是张冠李戴。

对卷积的意义的理解:

1. 从“积”的过程可以看到,我们得到的叠加值,是个全局的概念。以信号分析为例,卷积的结果是不仅跟当前时刻输入信号的响应值有关,也跟过去所有时刻输入信号的响应都有关系,考虑了对过去的所有输入的效果的累积。在图像处理的中,卷积处理的结果,其实就是把每个像素周边的,甚至是整个图像的像素都考虑进来,对当前像素进行某种加权处理。所以说,“积”是全局概念,或者说是一种“混合”,把两个函数在时间或者空间上进行混合。

2. 那为什么要进行“卷”?直接相乘不好吗?我的理解,进行“卷”(翻转)的目的其实是施加一种约束,它指定了在“积”的时候以什么为参照。在信号分析的场景,它指定了在哪个特定时间点的前后进行“积”,在空间分析的场景,它指定了在哪个位置的周边进行累积处理。

举例说明

下面举几个例子说明为什么要翻转,以及叠加求和的意义。

例1:信号分析

如下图所示,输入信号是 f(t) ,是随时间变化的。系统响应函数是 g(t) ,图中的响应函数是随时间指数下降的,它的物理意义是说:如果在 t=0 的时刻有一个输入,那么随着时间的流逝,这个输入将不断衰减。换言之,到了 t=T时刻,原来在 t=0 时刻的输入f(0)的值将衰减为f(0)g(T)。

考虑到信号是连续输入的,也就是说,每个时刻都有新的信号进来,所以,最终输出的是所有之前输入信号的累积效果。如下图所示,在T=10时刻,输出结果跟图中带标记的区域整体有关。其中,f(10)因为是刚输入的,所以其输出结果应该是f(10)g(0),而时刻t=9的输入f(9),只经过了1个时间单位的衰减,所以产生的输出应该是 f(9)g(1),如此类推,即图中虚线所描述的关系。这些对应点相乘然后累加,就是T=10时刻的输出信号值,这个结果也是f和g两个函数在T=10时刻的卷积值。

显然,上面的对应关系看上去比较难看,是拧着的,所以,我们把g函数对折一下,变成了g(-t),这样就好看一些了。看到了吗?这就是为什么卷积要“卷”,要翻转的原因,这是从它的物理意义中给出的。

上图虽然没有拧着,已经顺过来了,但看上去还有点错位,所以再进一步平移T个单位,就是下图。它就是本文开始给出的卷积定义的一种图形的表述:

所以,在以上计算T时刻的卷积时,要维持的约束就是:t+ (T-t) = T  。这种约束的意义,大家可以自己体会。

例2:丢骰子

在本问题 如何通俗易懂地解释卷积?中排名第一的马同学在中举了一个很好的例子(下面的一些图摘自马同学的文章,在此表示感谢),用丢骰子说明了卷积的应用。

要解决的问题是:有两枚骰子,把它们都抛出去,两枚骰子点数加起来为4的概率是多少?

分析一下,两枚骰子点数加起来为4的情况有三种情况:1+3=4, 2+2=4, 3+1=4

因此,两枚骰子点数加起来为4的概率为:

在这里我想进一步用上面的翻转滑动叠加的逻辑进行解释。

首先,因为两个骰子的点数和是4,为了满足这个约束条件,我们还是把函数 g 翻转一下,然后阴影区域上下对应的数相乘,然后累加,相当于求自变量为4的卷积值,如下图所示:

进一步,如此翻转以后,可以方便地进行推广去求两个骰子点数和为 n 时的概率,为f 和 g的卷积 f*g(n),如下图所示:

由上图可以看到,函数 g 的滑动,带来的是点数和的增大。这个例子中对f和g的约束条件就是点数和,它也是卷积函数的自变量。有兴趣还可以算算,如果骰子的每个点数出现的概率是均等的,那么两个骰子的点数和n=7的时候,概率最大。

例3:图像处理

还是引用知乎问题 如何通俗易懂地解释卷积?中马同学的例子。图像可以表示为矩阵形式(下图摘自马同学的文章):

对图像的处理函数(如平滑,或者边缘提取),也可以用一个g矩阵来表示,如:

注意,我们在处理平面空间的问题,已经是二维函数了,相当于:

那么函数f和g的在(u,v)处的卷积该如何计算呢?

首先我们在原始图像矩阵中取出(u,v)处的矩阵:

然后将图像处理矩阵翻转(这个翻转有点意思,不是延x轴和y轴两个方向翻转,而是沿右上到左下的对角线翻转,这是为了凑后面的内积公式。),如下:

可对比下图:

计算卷积时,就可以用和的内积:

请注意,以上公式有一个特点,做乘法的两个对应变量a,b的下标之和都是(u,v),其目的是对这种加权求和进行一种约束。这也是为什么要将矩阵g进行翻转的原因。以上矩阵下标之所以那么写,并且进行了翻转,是为了让大家更清楚地看到跟卷积的关系。这样做的好处是便于推广,也便于理解其物理意义。实际在计算的时候,都是用翻转以后的矩阵,直接求矩阵内积就可以了。以上计算的是(u,v)处的卷积,延x轴或者y轴滑动,就可以求出图像中各个位置的卷积,其输出结果是处理以后的图像(即经过平滑、边缘提取等各种处理的图像)。

再深入思考一下,在算图像卷积的时候,我们是直接在原始图像矩阵中取了(u,v)处的矩阵,为什么要取这个位置的矩阵,本质上其实是为了满足以上的约束。因为我们要算(u,v)处的卷积,而g矩阵是3×3的矩阵,要满足下标跟这个3×3矩阵的和是(u,v),只能是取原始图像中以(u,v)为中心的这个3×3矩阵,即图中的阴影区域的矩阵。

推而广之,如果如果g矩阵不是3×3,而是6×6,那我们就要在原始图像中取以(u,v)为中心的6×6矩阵进行计算。由此可见,这种卷积就是把原始图像中的相邻像素都考虑进来,进行混合。相邻的区域范围取决于g矩阵的维度,维度越大,涉及的周边像素越多。而矩阵的设计,则决定了这种混合输出的图像跟原始图像比,究竟是模糊了,还是更锐利了。

比如说,如下图像处理矩阵将使得图像变得更为平滑,显得更模糊,因为它联合周边像素进行了平均处理:

而如下图像处理矩阵将使得像素值变化明显的地方更为明显,强化边缘,而变化平缓的地方没有影响,达到提取边缘的目的:

对一些解释的不同意见

上面一些对卷积的形象解释,如知乎问题 卷积为什么叫「卷」积?中荆哲以及问题 如何通俗易懂地解释卷积?中马同学等人提出的如下比喻:

其实图中“卷”的方向,是沿该方向进行积分求和的方向,并无翻转之意。因此,这种解释,并没有完整描述卷积的含义,对“卷”的理解值得商榷。

一些参考资料

《数字信号处理(第二版)》程乾生,北京大学出版社

《信号与系统引论》 郑君里,应启珩,杨为理,高等教育出版社

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