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那么，感知机到底是什么呢？
下图是有两个输入信号的感知机的例子： \(x_1\) 和 \(x_2\) 是输入信号，y 是输出信号，其中 \(w_1\) 和 \(w_2\) 分别是 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的权重。图中符号“ ○” 表示的是“神经元”或“节点”。当输入信号 \(x_1\) 和 \(x_2\) 被输入至神经元时，会分别乘以各自的权重 \(w_1\) 和 \(w_2\) ，最后这两个信号的总和就是神经元传送的值，只有当这个总和大于某个阈值 \(\theta\) （界限值）时，才会输出1，否者输出0。这一操作也被称为“神经元被激活”。
综上述，感知机的运行原理可以用下面的数学公式表达：
感知机的多个输入信号都有各自固有的权重，这些权重发挥着控制各个信号的重要性的作用。也就是说，权重越大，对应该权重的信号的重要性就越高。
感知机的简单实现
现在让我们考虑用感知机来解决简单的逻辑电路问题。
1、与门
# coding: utf-8
#在这里，我们选择一个符合上述与门的真值表的参数例子
#ai8py.com
import numpy as np
def AND(x1, x2):
x = np.array([x1, x2]) #输入
w = np.array([0.5, 0.5]) #权重
b = -0.7 #偏置参数,用于控制神经元被激活的容易程度
tmp = np.sum(w*x) + b
if tmp <= 0:
return 0
else:
return 1
if __name__ == '__main__':
for xs in [(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)]:
y = AND(xs[0], xs[1])
print(str(xs) + " -> " + str(y))
结果显示：
(0, 0) -> 0 (1, 0) -> 0 (0, 1) -> 0 (1, 1) -> 1 Process finished with exit code 0
2、与非门
# coding: utf-8
#ai8py.com
import numpy as np
def NAND(x1, x2):
x = np.array([x1, x2])
w = np.array([-0.5, -0.5])
b = 0.7
tmp = np.sum(w*x) + b
if tmp <= 0:
return 0
else:
return 1
if __name__ == '__main__':
for xs in [(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)]:
y = NAND(xs[0], xs[1])
print(str(xs) + " -> " + str(y))
结果显示：
(0, 0) -> 1 (1, 0) -> 1 (0, 1) -> 1 (1, 1) -> 0 Process finished with exit code 0
3、或门
# coding: utf-8
#ai8py.com
import numpy as np
def OR(x1, x2):
x = np.array([x1, x2])
w = np.array([0.5, 0.5])
b = -0.2
tmp = np.sum(w*x) + b
if tmp <= 0:
return 0
else:
return 1
if __name__ == '__main__':
for xs in [(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)]:
y = OR(xs[0], xs[1])
print(str(xs) + " -> " + str(y))
结果显示：
(0, 0) -> 0 (1, 0) -> 1 (0, 1) -> 1 (1, 1) -> 1 Process finished with exit code 0
4、异或门
# coding: utf-8
# ai8py.com
from and_gate import AND
from or_gate import OR
from nand_gate import NAND
def XOR(x1, x2):
s1 = NAND(x1, x2)
s2 = OR(x1, x2)
y = AND(s1, s2)
return y
if __name__ == '__main__':
for xs in [(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)]:
y = XOR(xs[0], xs[1])
print(str(xs) + " -> " + str(y))
结果显示：
(0, 0) -> 0 (1, 0) -> 1 (0, 1) -> 1 (1, 1) -> 0 Process finished with exit code 0
实际上，异或门的实现在上述代码中，用到了与门、与非门和或门，那为什么不能够单独的使用其中一种的方法实现呢？我们将简单的图示来解释其中原因。
首先，我们将或门可视化，在这里，我们将权重参数设置为 \((b, w_1, w_2)=(-0.5, 1.0 ,1.0)\) 时， 可满足或门的真值表条件。此时，感知机可用下列公式表达：
上式中，感知机的生成是由 \(-0.5+x_1+x_2=0\) 分割而成的两个空间。其中一个空间输出1，一个输出0。或门在 \((x_1, x_2)=(0,0)\) 时输出0，在 \((x_1, x_2)\) 为 \((0, 1)、(1, 0)、(1, 1)\) 时输出1.下图中，“○” 表示0，“△”表示1。如下图所示：
上图中，用一条直线就可以将“○”和“△”分割开来了。那么异或门就不可如此分割。像下图这样的情况下，不可能用一条直线分割。
此时，只能使用一条曲线将“○”和“△”分割开来。而这，也正是感知机的局限性（它只能表示由一条直线分割的空间）。像下图弯曲的曲线无法用感知机表示。而，这样的曲线分割而成的空间称为非线性空间，由直线分割而成的空间称为线性空间。如下图：
上述讲到了，单层的感知机不能表示异或门，但是感知机是可以叠加的（是指通过叠加层来表示异或门），在异或门的代码中可以得到验证。
总结
• 感知机是具有输入和输出的算法。给定一个输入后，将输出一个既定的值。
• 感知机将权重和偏置设定为参数。
• 使用感知机可以表示与门和或门等逻辑电路。
• 异或门无法通过单层感知机来表示。
• 使用2层感知机可以表示异或门。
• 单层感知机只能表示线性空间，而多层感知机可以表示非线性空间。