1、因子分解机FM的优势

    对于因子分解机FM来说，最大的特点是对于稀疏的数据具有很好的学习能力。现实中稀疏的数据很多，例如作者所举的推荐系统的例子便是一个很直观的具有稀疏特点的例子。

2、因子分解机FM的模型

    对于度为2的因子分解机FM的模型为：

   因子分解机FM也可以推广到高阶的形式，即将更多互异特征分量之间的相互关系考虑进来。

二、因子分解机FM算法

    因子分解机FM算法可以处理如下三类问题：

1. 回归问题(Regression)
2. 二分类问题(Binary Classification)
3. 排序(Ranking)

在这里主要介绍回归问题和二分类问题。

1、回归问题(Regression)

    在回归问题中，直接使用 \(\hat{y}\) 作为最终的预测结果。在回归问题中使用最小均方误差(the least square error)作为优化的标准，即

其中， \(\sigma\) 表示的是阶跃函数Sigmoid。具体形式为：

三、因子分解机FM算法的求解过程

1、交叉项系数

    在基本线性回归模型的基础上引入交叉项，如下：

四、实验(求解二分类问题)

1、实验的代码：

#coding:UTF-8
#ai8py.com

from __future__ import division
from math import exp
from numpy import *
from random import normalvariate#正态分布
from datetime import datetime

trainData = 'E://data//diabetes_train.txt'
testData = 'E://data//diabetes_test.txt'
featureNum = 8

def loadDataSet(data):
    dataMat = []
    labelMat = []
    
    fr = open(data)#打开文件
    
    for line in fr.readlines():
        currLine = line.strip().split()
        #lineArr = [1.0]
        lineArr = []
        
        for i in xrange(featureNum):
            lineArr.append(float(currLine[i + 1]))
        dataMat.append(lineArr)
        
        labelMat.append(float(currLine[0]) * 2 - 1)
    return dataMat, labelMat

def sigmoid(inx):
    return 1.0 / (1 + exp(-inx))

def stocGradAscent(dataMatrix, classLabels, k, iter):
    #dataMatrix用的是mat, classLabels是列表
    m, n = shape(dataMatrix)
    alpha = 0.01
    #初始化参数
    w = zeros((n, 1))#其中n是特征的个数
    w_0 = 0.
    v = normalvariate(0, 0.2) * ones((n, k))
    
    for it in xrange(iter):
        print it
        for x in xrange(m):#随机优化，对每一个样本而言的
            inter_1 = dataMatrix[x] * v
            inter_2 = multiply(dataMatrix[x], dataMatrix[x]) * multiply(v, v)#multiply对应元素相乘
            #完成交叉项
            interaction = sum(multiply(inter_1, inter_1) - inter_2) / 2.
            
            p = w_0 + dataMatrix[x] * w + interaction#计算预测的输出
        
            loss = sigmoid(classLabels[x] * p[0, 0]) - 1
            print loss
        
            w_0 = w_0 - alpha * loss * classLabels[x]
            
            for i in xrange(n):
                if dataMatrix[x, i] != 0:
                    w[i, 0] = w[i, 0] - alpha * loss * classLabels[x] * dataMatrix[x, i]
                    for j in xrange(k):
                        v[i, j] = v[i, j] - alpha * loss * classLabels[x] * (dataMatrix[x, i] * inter_1[0, j] - v[i, j] * dataMatrix[x, i] * dataMatrix[x, i])
        
    
    return w_0, w, v

def getAccuracy(dataMatrix, classLabels, w_0, w, v):
    m, n = shape(dataMatrix)
    allItem = 0
    error = 0
    result = []
    for x in xrange(m):
        allItem += 1
        inter_1 = dataMatrix[x] * v
        inter_2 = multiply(dataMatrix[x], dataMatrix[x]) * multiply(v, v)#multiply对应元素相乘
        #完成交叉项
        interaction = sum(multiply(inter_1, inter_1) - inter_2) / 2.
        p = w_0 + dataMatrix[x] * w + interaction#计算预测的输出
        
        pre = sigmoid(p[0, 0])
        
        result.append(pre)
        
        if pre < 0.5 and classLabels[x] == 1.0:
            error += 1
        elif pre >= 0.5 and classLabels[x] == -1.0:
            error += 1
        else:
            continue
        
    
    print result
    
    return float(error) / allItem
        
   
if __name__ == '__main__':
    dataTrain, labelTrain = loadDataSet(trainData)
    dataTest, labelTest = loadDataSet(testData)
    date_startTrain = datetime.now()
    print "开始训练"
    w_0, w, v = stocGradAscent(mat(dataTrain), labelTrain, 20, 200)
    print "训练准确性为：%f" % (1 - getAccuracy(mat(dataTrain), labelTrain, w_0, w, v))
    date_endTrain = datetime.now()
    print "训练时间为：%s" % (date_endTrain - date_startTrain)
    print "开始测试"
    print "测试准确性为：%f" % (1 - getAccuracy(mat(dataTest), labelTest, w_0, w, v))  

2、实验结果：

五、几点疑问

    在传统的非稀疏数据集上，有时效果并不是很好。在实验中，我有一点处理，即在求解Sigmoid函数的过程中，在有的数据集上使用了带阈值的求法：

def sigmoid(inx):
    #return 1.0 / (1 + exp(-inx))
    return 1. / (1. + exp(-max(min(inx, 15.), -15.)))

欢迎更多的朋友一起讨论这个算法。

参考文章

1、Rendle, Factorization Machines.
2、Factorization Machines with libFM