Python实现K-Means聚类算法

k-means聚类是一种矢量量化方法,最初来源于信号处理,在数据挖掘中被广泛应用于聚类分析。k-means聚类的目的是将n个观测值划分为k个观测值,每个观测值都属于最接近均值的聚类,作为聚类的原型。

k-means算法是一种聚类算法,所谓聚类,即根据相似性原则,将具有较高相似度的数据对象划分至同一类簇,将具有较高相异度的数据对象划分至不同类簇。聚类与分类最大的区别在于,聚类过程为无监督过程,即待处理数据对象没有任何先验知识,而分类过程为有监督过程,即存在有先验知识的训练数据集。

k-means算法中的k代表类簇个数,means代表类簇内数据对象的均值(这种均值是一种对类簇中心的描述),因此,k-means算法又称为k-均值算法。k-means算法是一种基于划分的聚类算法,以距离作为数据对象间相似性度量的标准,即数据对象间的距离越小,则它们的相似性越高,则它们越有可能在同一个类簇。数据对象间距离的计算有很多种,k-means算法通常采用欧氏距离来计算数据对象间的距离。

K-means聚类算法(事先数据并没有类别之分!所有的数据都是一样的)

1、概述
K-means算法是集简单和经典于一身的基于距离的聚类算法
采用距离作为相似性的评价指标,即认为两个对象的距离越近,其相似度就越大。
该算法认为类簇是由距离靠近的对象组成的,因此把得到紧凑且独立的簇作为最终目标。

2、核心思想
通过迭代寻找k个类簇的一种划分方案,使得用这k个类簇的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。
k个聚类具有以下特点:各聚类本身尽可能的紧凑,而各聚类之间尽可能的分开。
k-means算法的基础是最小误差平方和准则,
其代价函数是:

   式中,μc(i)表示第i个聚类的均值。

各类簇内的样本越相似,其与该类均值间的误差平方越小,对所有类所得到的误差平方求和,即可验证分为k类时,各聚类是否是最优的。
上式的代价函数无法用解析的方法最小化,只能有迭代的方法。

3、算法步骤图解
下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果,这里k取2。

4、算法实现步骤

k-means算法是将样本聚类成 k个簇(cluster),其中k是用户给定的,其求解过程非常直观简单,具体算法描述如下:

1) 随机选取 k个聚类质心点
2) 重复下面过程直到收敛  {
      对于每一个样例 i,计算其应该属于的类:

对于每一个类 j,重新计算该类的质心:

}

其伪代码如下:
**************************************************
创建k个点作为初始的质心点(随机选择)
当任意一个点的簇分配结果发生改变时
       对数据集中的每一个数据点
              对每一个质心
                     计算质心与数据点的距离
              将数据点分配到距离最近的簇
       对每一个簇,计算簇中所有点的均值,并将均值作为质心
****************************************************

5、K-means聚类算法python实战

需求:
对给定的数据集进行聚类
本案例采用二维数据集,共80个样本,有4个类。

#ai8py.com
#!/usr/bin/python
# coding=utf-8
from numpy import *
# 加载数据
def loadDataSet(fileName):  # 解析文件,按tab分割字段,得到一个浮点数字类型的矩阵
    dataMat = []              # 文件的最后一个字段是类别标签
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split('\t')
        fltLine = map(float, curLine)    # 将每个元素转成float类型
        dataMat.append(fltLine)
    return dataMat

# 计算欧几里得距离
def distEclud(vecA, vecB):
    return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2))) # 求两个向量之间的距离

# 构建聚簇中心,取k个(此例中为4)随机质心
def randCent(dataSet, k):
    n = shape(dataSet)[1]
    centroids = mat(zeros((k,n)))   # 每个质心有n个坐标值,总共要k个质心
    for j in range(n):
        minJ = min(dataSet[:,j])
        maxJ = max(dataSet[:,j])
        rangeJ = float(maxJ - minJ)
        centroids[:,j] = minJ + rangeJ * random.rand(k, 1)
    return centroids

# k-means 聚类算法
def kMeans(dataSet, k, distMeans =distEclud, createCent = randCent):
    m = shape(dataSet)[0]
    clusterAssment = mat(zeros((m,2)))    # 用于存放该样本属于哪类及质心距离
    # clusterAssment第一列存放该数据所属的中心点,第二列是该数据到中心点的距离
    centroids = createCent(dataSet, k)
    clusterChanged = True   # 用来判断聚类是否已经收敛
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False;
        for i in range(m):  # 把每一个数据点划分到离它最近的中心点
            minDist = inf; minIndex = -1;
            for j in range(k):
                distJI = distMeans(centroids[j,:], dataSet[i,:])
                if distJI < minDist:
                    minDist = distJI; minIndex = j  # 如果第i个数据点到第j个中心点更近,则将i归属为j
            if clusterAssment[i,0] != minIndex: clusterChanged = True;  # 如果分配发生变化,则需要继续迭代
            clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2   # 并将第i个数据点的分配情况存入字典
        print centroids
        for cent in range(k):   # 重新计算中心点
            ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A == cent)[0]]   # 去第一列等于cent的所有列
            centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis = 0)  # 算出这些数据的中心点
    return centroids, clusterAssment
# --------------------测试----------------------------------------------------
# 用测试数据及测试kmeans算法
datMat = mat(loadDataSet('testSet.txt'))
myCentroids,clustAssing = kMeans(datMat,4)
print myCentroids
print clustAssing

运行结果:

6、K-means算法补充

K-means算法的缺点改进方法

(1)k值的选择是用户指定的,不同的k得到的结果会有挺大的不同,如下图所示,左边是k=3的结果,这个就太稀疏了,蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果,可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的:

改进:
对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布,如重心和密度等,然后选择合适的k

(2)对k个初始质心的选择比较敏感,容易陷入局部最小值。例如,我们上面的算法运行的时候,有可能会得到不同的结果,如下面这两种情况。K-means也是收敛了,只是收敛到了局部最小值:

改进:
有人提出了另一个成为二分k均值(bisecting k-means)算法,它对初始的k个质心的选择就不太敏感

(3)存在局限性,如下面这种非球状的数据分布就搞不定了

(4)数据集比较大的时候,收敛会比较慢。

K-means聚类算法
算法优缺点:

优点:容易实现
缺点:可能收敛到局部最小值,在大规模数据集上收敛较慢
使用数据类型:数值型数据

算法思想

k-means算法实际上就是通过计算不同样本间的距离来判断他们的相近关系的,相近的就会放到同一个类别中去。

1.首先我们需要选择一个k值,也就是我们希望把数据分成多少类,这里k值的选择对结果的影响很大,Ng的课说的选择方法有两种一种是elbow method,简单的说就是根据聚类的结果和k的函数关系判断k为多少的时候效果最好。另一种则是根据具体的需求确定,比如说进行衬衫尺寸的聚类你可能就会考虑分成三类(L,M,S)等

2.然后我们需要选择最初的聚类点(或者叫质心),这里的选择一般是随机选择的,代码中的是在数据范围内随机选择,另一种是随机选择数据中的点。这些点的选择会很大程度上影响到最终的结果,也就是说运气不好的话就到局部最小值去了。这里有两种处理方法,一种是多次取均值,另一种则是后面的改进算法(bisecting K-means)

3.终于我们开始进入正题了,接下来我们会把数据集中所有的点都计算下与这些质心的距离,把它们分到离它们质心最近的那一类中去。完成后我们则需要将每个簇算出平均值,用这个点作为新的质心。反复重复这两步,直到收敛我们就得到了最终的结果。

函数
loadDataSet(fileName)
从文件中读取数据集
distEclud(vecA, vecB)
计算距离,这里用的是欧氏距离,当然其他合理的距离都是可以的
randCent(dataSet, k)
随机生成初始的质心,这里是虽具选取数据范围内的点
kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent)
kmeans算法,输入数据和k值。后面两个事可选的距离计算方式和初始质心的选择方式
show(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

可视化结果

#ai8py.com
#coding=utf-8
from numpy import *

def loadDataSet(fileName):
    dataMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        curLine = line.strip().split('\t')
        fltLine = map(float, curLine)
        dataMat.append(fltLine)
    return dataMat
    
#计算两个向量的距离,用的是欧几里得距离
def distEclud(vecA, vecB):
    return sqrt(sum(power(vecA - vecB, 2)))

#随机生成初始的质心(ng的课说的初始方式是随机选K个点)    
def randCent(dataSet, k):
    n = shape(dataSet)[1]
    centroids = mat(zeros((k,n)))
    for j in range(n):
        minJ = min(dataSet[:,j])
        rangeJ = float(max(array(dataSet)[:,j]) - minJ)
        centroids[:,j] = minJ + rangeJ * random.rand(k,1)
    return centroids
    
def kMeans(dataSet, k, distMeas=distEclud, createCent=randCent):
    m = shape(dataSet)[0]
    clusterAssment = mat(zeros((m,2)))#create mat to assign data points 
                                      #to a centroid, also holds SE of each point
    centroids = createCent(dataSet, k)
    clusterChanged = True
    while clusterChanged:
        clusterChanged = False
        for i in range(m):#for each data point assign it to the closest centroid
            minDist = inf
            minIndex = -1
            for j in range(k):
                distJI = distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])
                if distJI < minDist:
                    minDist = distJI; minIndex = j
            if clusterAssment[i,0] != minIndex: 
                clusterChanged = True
            clusterAssment[i,:] = minIndex,minDist**2
        print centroids
        for cent in range(k):#recalculate centroids
            ptsInClust = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]#get all the point in this cluster
            centroids[cent,:] = mean(ptsInClust, axis=0) #assign centroid to mean 
    return centroids, clusterAssment
    
def show(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
    from matplotlib import pyplot as plt  
    numSamples, dim = dataSet.shape  
    mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']  
    for i in xrange(numSamples):  
        markIndex = int(clusterAssment[i, 0])  
        plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])  
    mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']  
    for i in range(k):  
        plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)  
    plt.show()
      
def main():
    dataMat = mat(loadDataSet('testSet.txt'))
    myCentroids, clustAssing= kMeans(dataMat,4)
    print myCentroids
    show(dataMat, 4, myCentroids, clustAssing)  
    
    
if __name__ == '__main__':
    main()

这里是聚类结果,还是很不错的啦

但是有时候也会收敛到局部最小值,就像下面这样,就是不幸收敛到局部最优了

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